זוויות במשולש עם מרכז המעגל ורדיוס (קיץ 2023 מועד א, סעיף א)טריגונומטריה 571 · שיעור 29
📄 נוסח השאלה
דלתון ABCD חסום במעגל שרדיוסו R.
המיתר AC הוא האלכסון הראשי של הדלתון.
הנקודה O היא מרכז המעגל החסום במשולש ABC (ראו סרטוט).
נסמן: ∢CAB = t (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t. כל הזוויות במעלות).
א. (1) מצאו את זוויות המשולש AOC (הביעו באמצעות t במידת הצורך).
📄 נוסח השאלה · המשך
(2) הביעו את אורך הקטע AO באמצעות t ו־R.
סעיף א (1) – זוויות המשולש AOC
בדלתון AB = AD , CB = CD, ולכן △ABC ≅ △ADC (צ.צ.צ.) ו־∢B = ∢D. הדלתון חסום במעגל:
📐 מרובע חסום במעגל
∢B + ∢D = 180
נציב ∢D = ∢B:
∢B + ∢B = 180
∢ABC = 90
לכן AC הוא קוטר המעגל, ובמשולש ABC:
📐 מרובע חסום במעגל
סכום זוויות נגדיות 180
סעיף א (1) – זוויות המשולש AOC · המשך
לכן AC הוא קוטר המעגל, ובמשולש ABC:
∢ACB = 180 − ∢ABC − ∢CAB
נציב ∢ABC = 90 ו־∢CAB = t:
∢ACB = 180 − 90 − t = 90 − t
O מרכז המעגל החסום, ולכן AO ו־CO חוצי זוויות:
📐 מרכז מעגל חסום
∢OAC = t2 , ∢OCA = 90 − t2 = 45 − t2
📐 מרכז מעגל חסום
נקודת המפגש של חוצי הזוויות
סעיף א (1) – זוויות המשולש AOC · המשך
∢OAC = t2 , ∢OCA = 90 − t2 = 45 − t2
∢AOC = 180 − ∢OAC − ∢OCA
נציב ∢OAC = t2 ו־∢OCA = 45 − t2:
∢AOC = 180 − t2 − (45 − t2) = 135
✅ פתרון סופי: ∢OAC = t2 , ∢OCA = 45 − t2 , ∢AOC = 135
סעיף א (2) – אורך AO
AC = 2R
AOsin(45 − t2) = ACsin 135
📐 משפט הסינוסים
sin 135 = √22
נציב AC = 2R ו־sin 135 = √22:
AO = 2R · sin(45 − t2)√22
AO = 2√2 R · sin(45 − t2)
📐 משפט הסינוסים
asin A = bsin B
סעיף א (2) – אורך AO · המשך
AO = 2√2 R · sin(45 − t2)
✅ פתרון סופי: AO = 2√2 R · sin(45 − t2)
📌 סיכום התשובות
סעיף א (1)
∢OAC = t2 , ∢OCA = 45 − t2 , ∢AOC = 135
סעיף א (2)
AO = 2√2 R · sin(45 − t2)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא